Généralités sur les fonctions

Le domaine de définition

Le domaine de définition Df d'une fonction f est l'ensemble des réels x qui ont une image f(x).

Pour un quotient, le dénominateur doit être différent de 0 ; sous une racine carrée, l'expression doit être positive ou nulle.

La courbe Cf de f est formée des points M(x ; f(x)), avec x dans Df.

Fonction paire, fonction impaire

D'abord, Df doit être symétrique par rapport à 0 : si x est dans Df, alors −x aussi.

f est paire si f(−x) = f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

f est impaire si f(−x) = −f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.

Le sens de variation

f est strictement croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I, a < b entraîne f(a) < f(b). Elle est strictement décroissante si a < b entraîne f(a) > f(b).

Le taux de variation de f entre a et b est T = (f(b) − f(a)) / (b − a) : toujours positif sur I, f y est strictement croissante ; toujours négatif, elle y est strictement décroissante.

Maximum et minimum

f(x₀) est le maximum de f sur I si f(x) ≤ f(x₀) pour tout x de I ; c'est le minimum si f(x) ≥ f(x₀).

Exemple : f(x) = (x − 2)² − 1. Comme (x − 2)² ≥ 0, on a f(x) ≥ −1, et f(2) = −1 : le minimum de f est −1, atteint en 2.

On résume le sens de variation et les extremums dans le tableau de variations.