Les équations du second degré

L'équation du second degré

Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels et a ≠ 0.

L'expression ax² + bx + c s'appelle un trinôme. Exemple : dans x² − 2x − 3 = 0, on a a = 1, b = −2 et c = −3.

Le discriminant

On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.

Si Δ > 0, l'équation a deux solutions : x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a).

Si Δ = 0, elle a une seule solution : x₀ = −b / (2a). Si Δ < 0, elle n'a aucune solution réelle.

Factorisation et signe du trinôme

Si Δ > 0, on factorise : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Exemple : x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3).

Le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe contraire entre les racines. Si Δ < 0, il a toujours le signe de a.

Somme et produit des racines

Si l'équation ax² + bx + c = 0 a deux racines x₁ et x₂, alors x₁ + x₂ = −b / a et x₁ × x₂ = c / a.

Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de x² − Sx + P = 0.